Cho $x,y,z>0$ biết $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm max:
$$P=xy+yz+zx+\dfrac{5}{x+y+z}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 14-06-2016 - 20:37
Cho $x,y,z>0$ biết $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm max:
$$P=xy+yz+zx+\dfrac{5}{x+y+z}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 14-06-2016 - 20:37
Cho $x,y,z>0$ biết $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm max:
$$P=xy+yz+zx+\dfrac{5}{x+y+z}$$
$9=3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2 \rightarrow x+y+z \leq 3$
Đặt $x+y+z=t \rightarrow xy+yz+zx=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{3}{2}$
Ta có: $P=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{5}{t}-\dfrac{3}{2}$
Đạo hàm:
Ta có: TXĐ: $t \in (0;3]$
$P'=t-\dfrac{5}{t^2}=\dfrac{t^3-5}{t^2}$
$P'=0 \rightarrow t=\sqrt[3]{5}$
Ta có:
$P(\sqrt[3]{5})=\dfrac{\sqrt[3]{25}}{2}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{5}}-\dfrac{3}{2}$
$P(3)=\dfrac{14}{3}$
Mà $P(3)>P(\sqrt[3]{5})$
Vậy $Max_P=\dfrac{14}{3} \iff x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 14-06-2016 - 20:13
Don't care
$P(\sqrt[3]{5})=\dfrac{\sqrt[3]{25}}{2}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{5}}-\dfrac{3}{2}$
Mk nghĩ đây là min
Don't care
Bạn làm TXĐ của $P$ chưa chặt.
nếu đặt $x+y+z=t$ thì $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=t^2$ suy ra $xy+yz+xz=\dfrac{t^2-3}{2}$
Mà $xy+yz+xz \le x^2+y^2+z^2$ nên $\dfrac{t^2-3}{2} \le 3$ suy ra $t^2 \le 9$ suy ra $ t\le 3$.
mặt khác $t^2-3 \ge 0$ nên $t \ge \sqrt{3}$
TXĐ của $P$ là $[\sqrt{3}; 3]$
$P'=0$ nghiệm là $\sqrt[3]{5}$ không thuộc đoạn $[\sqrt{3};3]$ nên min, max sẽ là hai đầu mút.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 14-06-2016 - 20:46
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh