4 replies to this topic

[dunghoiten]

Cho $x,y,z>0$ biết $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm max:

 

$$P=xy+yz+zx+\dfrac{5}{x+y+z}$$

Edited by dunghoiten, 14-06-2016 - 20:37.

[leminhnghiatt]

Cho $x,y,z>0$ biết $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm max:

 

$$P=xy+yz+zx+\dfrac{5}{x+y+z}$$

 

$9=3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2 \rightarrow x+y+z \leq 3$

 

Đặt $x+y+z=t \rightarrow xy+yz+zx=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{3}{2}$

 

Ta có: $P=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{5}{t}-\dfrac{3}{2}$

 

Đạo hàm:

 

Ta có: TXĐ: $t \in (0;3]$

 

$P'=t-\dfrac{5}{t^2}=\dfrac{t^3-5}{t^2}$

 

$P'=0 \rightarrow t=\sqrt[3]{5}$

 

Ta có: 

 

$P(\sqrt[3]{5})=\dfrac{\sqrt[3]{25}}{2}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{5}}-\dfrac{3}{2}$

 

$P(3)=\dfrac{14}{3}$

 

Mà $P(3)>P(\sqrt[3]{5})$

 

Vậy $Max_P=\dfrac{14}{3} \iff x=y=z=1$

Edited by leminhnghiatt, 14-06-2016 - 20:13.

[anhquannbk]

Bài này cũng có thể tìm $Min$ được 

[leminhnghiatt]

$P(\sqrt[3]{5})=\dfrac{\sqrt[3]{25}}{2}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{5}}-\dfrac{3}{2}$

 

 

 Mk nghĩ đây là min 

[anhquannbk]

Bạn làm TXĐ của $P$ chưa chặt.

nếu đặt $x+y+z=t$ thì $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=t^2$ suy ra $xy+yz+xz=\dfrac{t^2-3}{2}$

Mà $xy+yz+xz \le x^2+y^2+z^2$  nên $\dfrac{t^2-3}{2} \le 3$ suy ra $t^2 \le 9$ suy ra $ t\le 3$.

mặt khác $t^2-3 \ge 0$ nên $t \ge \sqrt{3}$

TXĐ của $P$ là $[\sqrt{3}; 3]$

$P'=0$ nghiệm là $\sqrt[3]{5}$ không thuộc đoạn $[\sqrt{3};3]$ nên min, max sẽ là hai đầu mút.

Edited by anhquannbk, 14-06-2016 - 20:46.