Chủ đề này có 30 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 17-06-2016 - 23:30

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

 

Bất đẳng thức bên vế trái khá đơn giản, ta chứng minh bất đẳng thức bên vế phải.

 

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}.$ Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất như sau

\[(ab+bc+ca)(a+b+c)-2abc \leqslant \frac{7}{27}(a+b+c)^3,\]

hay là

\[\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)c+\frac{1}{27}(a-c)^{3}+\frac{1}{27}(b-c)^{3}+\frac{2}{9}(a+b-2c) (a-b)^{2} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.

[Nguyenngoctu]

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

Cách đơn giản nhất của bài này là chứng minh bằng phương pháp look at the end point!

Ta có \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0\]

Xét hàm số \[f\left( a \right) = a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]\] f(a) là hàm số bậc nhất nên ta chỉ cần chỉ ra f(0) và f(1) lớn hơn hoặc bằng 0 trên đoạn [0;1] là đủ.

Ta có \[f\left( 0 \right) = - bc + \frac{7}{{27}} \ge - \frac{1}{4} + \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 0 \Rightarrow 1 = b + c \ge 2\sqrt {bc} \Rightarrow - bc \ge - \frac{1}{4}\]

\[f\left( 1 \right) = \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 1 \Rightarrow b = c = 0\] Xong!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenngoctu: 18-06-2016 - 06:17

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

 

Một cách khác:

 

Dùng bđt: $xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

 

CM: $(x+y-z)(y+z-x) \leq \dfrac{4y^2}{4}=y^2$

 

TT nhân các bđt lại ta sẽ có đpcm

 

Khi đó: $xyz \geq (1-2z)(1-2x)(1-2y)$

 

$\iff xy+yz+zx \leq \dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}xyz$

 

$\iff xy+yz+zx-2xyz \leq \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}xyz \leq \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{(x+y+z)^3}{27}=\dfrac{7}{27}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{3}$

[nuoccam]

Cách đơn giản nhất của bài này là chứng minh bằng phương pháp look at the end point!

Ta có \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0\]

Xét hàm số \[f\left( a \right) = a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]\] f(a) là hàm số bậc nhất nên ta chỉ cần chỉ ra f(0) và f(1) lớn hơn hoặc bằng 0 trên đoạn [0;1] là đủ.

Ta có \[f\left( 0 \right) = - bc + \frac{7}{{27}} \ge - \frac{1}{4} + \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 0 \Rightarrow 1 = b + c \ge 2\sqrt {bc} \Rightarrow - bc \ge - \frac{1}{4}\]

\[f\left( 1 \right) = \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 1 \Rightarrow b = c = 0\] Xong!

bạn xét thiếu TH: b+c=2bc !

[Nguyenngoctu]

bạn xét thiếu TH: b+c=2bc !

Mình nghĩ là không thiếu. Bạn nói cụ thể hơn đi.

[Namvip]

Bài này có thể dùng p,q,r đc mak 

[nuoccam]

Mình nghĩ là không thiếu. Bạn nói cụ thể hơn đi.

Nếu muốn đc là hàm bậc nhất thì b+c phải khác 2bc

Nếu b+c=2bc thì f(a) = $\frac{7}{27} - bc$ 

[superpower]

Cách đơn giản nhất của bài này là chứng minh bằng phương pháp look at the end point!

Ta có \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0\]

Xét hàm số \[f\left( a \right) = a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]\] f(a) là hàm số bậc nhất nên ta chỉ cần chỉ ra f(0) và f(1) lớn hơn hoặc bằng 0 trên đoạn [0;1] là đủ.

Ta có \[f\left( 0 \right) = - bc + \frac{7}{{27}} \ge - \frac{1}{4} + \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 0 \Rightarrow 1 = b + c \ge 2\sqrt {bc} \Rightarrow - bc \ge - \frac{1}{4}\]

\[f\left( 1 \right) = \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 1 \Rightarrow b = c = 0\] Xong!

Bạn làm sai rồi

Bạn không hiểu phương pháp này

$f(0) = -bc + \frac{7}{27} \geq 0 $

thì lúc này cần chỉ ra cái  $-bc + \frac{7}{27} \geq 0$

Chứ không phải xác nhận là khi $a=0$ rồi chứng minh bđt đó

đó là cách làm SAI HOÀN TOÀN 

Bạn có thể hiểu rõ thêm PP bằng cách đọc qua bài viết của thầy VQBC

[Nguyenngoctu]

Thế à, bạn gửi tài liệu cho minh với!

[Nguyenngoctu]

Đây, mình đọc phương pháp đó trong tài liệu này, trang 7, trang 8, trang 9. Mình chứng minh chẳng khác gì trong sách?

https://www.google.c...124817099,d.dGo

[Nguyenhuyen_AG]

Cách đơn giản nhất của bài này là chứng minh bằng phương pháp look at the end point!

 

Cách đơn giản nhất của bài này là dùng bất đẳng thức Schur và AM-GM.

[superpower]

Đây, mình đọc phương pháp đó trong tài liệu này, trang 7, trang 8, trang 9. Mình chứng minh chẳng khác gì trong sách?

https://www.google.c...124817099,d.dGo

Đây là tài liệu bđt SAI đó bạn. Chính người đọc cũng không hiểu rõ phương pháp này.

Mình thấy anh khoa là sai rồi

Hồi đó mình cũng sai lầm giống bạn

Xong bạn mình chỉ lại

[Nguyenngoctu]

Cách của tôi như vậy có đúng không bạn? Bạn xem giúp tôi với!!!!!!!! 

[Nguyenngoctu]

Thế à, nhưng mấy bài mình chứng minh giống thế trên AOPS cũng không thấy ai nói sai cả. Cứ tưởng đúng. 

[superpower]

Thế à, nhưng mấy bài mình chứng minh giống thế trên AOPS cũng không thấy ai nói sai cả. Cứ tưởng đúng. 

Chắc do người ta làm biếng đó bạn

Với lại nhiều người vẫn chưa hiểu rõ phương pháp

[nuoccam]

Vậy thì anh chị nào biết rõ về PP Hàm bậc nhất này thì CM cho em xem cái nào! 

Em cx chỉ mới biết sơ qua về PP này thôi 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

 

Viết bất đẳng thức bên vế phải lại dưới dạng

\[(a+b+c)(ab+bc+ca)-2abc \leqslant \frac{7}{27}(a+b+c)^3.\]

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức trên tương đương với

\[\frac{1}{27}(7a+7b-5c)(a-b)^2+\frac{1}{27}(a+b+7c)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo giả thiết.

 

P/s. Phương pháp mà mấy bạn nói anh Cẩn có viết một chuyên đề ngắn trên tạp chí THTT.

[Nguyenngoctu]

Mình xem bài anh Cẩn viết rồi. Nhưng không có dạng a+b+c=1 mà toàn thấy a,b,c thuộc đoạn nào đấy. Mình vẫn nghi ngờ lắm. 

[superpower]

Mình xem bài anh Cẩn viết rồi. Nhưng không có dạng a+b+c=1 mà toàn thấy a,b,c thuộc đoạn nào đấy. Mình vẫn nghi ngờ lắm. 

Dạng này, bạn phải cố định $bc$, cho $a$ chạy

Rồi sau đó chặn $a$