Chủ đề này có 1 trả lời

[Oral1020]

Bài toán: Cho a,b,c $\ge 0$.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{b+c}+2 \sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 2$

[thinhrost1]

Bài toán: Cho a,b,c $\ge 0$.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{b+c}+2 \sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 2$

Dễ chứng minh tồn tại x,y,z sao cho:

 

$(x,y,z)=( \frac{a}{b+c},  \frac{b}{c+a},  \frac{c}{a+b})$ sao cho $xy+yz+xz+2xyz=1$

Do phép đặt suy ra:

$\frac{(x+y+z)^2}{3}+2(\frac{x+y+z}{3})^3\ge xy+yz+xz+2xyz=1\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{3}{2}$

 

Ta cần chứng minh $x+y+z+2 \sqrt{xyz} \ge 2$

 

Đặt $\sum x=p, \sum xy=q, xyz=r$

Hiển nhiên $p>2$ bất đẳng thức đúng, Xét $p \le 2$ Khi đó:

 

Theo bất đẳng thức Shur bậc 3 thì:

 

$r\ge\frac{4pq-p^3}{9} \Leftrightarrow \frac{1-q}{2}\geq \frac{4qp-p^3}{9}\Leftrightarrow q\le\frac{\frac{1}{2}+\frac{p^3}{9}}{4p+\frac{1}{2}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 

$ p+2\sqrt{\frac{4p-p^3}{8p+9}} \ge 2 \Leftrightarrow (2-p) (12 p^2+p-18)\ge0 $ (đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 18-06-2016 - 20:04