Bài toán: Cho a,b,c $\ge 0$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{b+c}+2 \sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 2$
Bài toán: Cho a,b,c $\ge 0$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{b+c}+2 \sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 2$
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
Bài toán: Cho a,b,c $\ge 0$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{b+c}+2 \sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 2$
Dễ chứng minh tồn tại x,y,z sao cho:
$(x,y,z)=( \frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b})$ sao cho $xy+yz+xz+2xyz=1$
Do phép đặt suy ra:
$\frac{(x+y+z)^2}{3}+2(\frac{x+y+z}{3})^3\ge xy+yz+xz+2xyz=1\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{3}{2}$
Ta cần chứng minh $x+y+z+2 \sqrt{xyz} \ge 2$
Đặt $\sum x=p, \sum xy=q, xyz=r$
Hiển nhiên $p>2$ bất đẳng thức đúng, Xét $p \le 2$ Khi đó:
Theo bất đẳng thức Shur bậc 3 thì:
$r\ge\frac{4pq-p^3}{9} \Leftrightarrow \frac{1-q}{2}\geq \frac{4qp-p^3}{9}\Leftrightarrow q\le\frac{\frac{1}{2}+\frac{p^3}{9}}{4p+\frac{1}{2}}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$ p+2\sqrt{\frac{4p-p^3}{8p+9}} \ge 2 \Leftrightarrow (2-p) (12 p^2+p-18)\ge0 $ (đúng)
Edited by thinhrost1, 18-06-2016 - 20:04.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users