3 replies to this topic

[O0NgocDuy0O]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $x+y+z=2.$ Chứng minh rằng: $$x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 1+\frac{1}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4}).$$

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $x+y+z=2.$ Chứng minh rằng: $$x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 1+\frac{1}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4}).$$

Đặt $a=xy+yz+zx$ và $b=xyz$
BĐT$<=>2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\leq 2+x^{4}+y^{4}+z^{4}$

$<=>2[(x+y+z)^3-3(x+y+z)a+3b]\leqslant 2+[(x+y+z)^2-2a]^2-2[a^2-2b(x+y+z)]$

$<=>2(8-6a+3b)\leqslant 2+(4-2a)^2-2(a^2-4b)$

$<=>4a\leqslant 2+2b+2a^2$

$<=>2a\leqslant a^2+b+1<=>(a-1)^2+b\geqslant 0$ (luôn đúng do $x,y,z\geqslant 0$)

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1)$ và các hoán vị

Edited by Minhnguyenthe333, 18-06-2016 - 18:59.

[kienvuhoang]

đpcm$(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3})\leq 2+(x^{4}+y^{4}+z^{4})$

       $  \Leftrightarrow \sum x(y^{3}+z^{3})\leq 2$

        $ \Leftrightarrow \sum yz(y^{2}+y^{2})\leq 2$

Thật vậy ta có:$\sum yz(y^{2}+z^{2})\leq (xy+yz+zx)(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

                       $\leq \frac{1}{8}[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)]$

                      $ =\frac{(x+y+z)^{4}}{8}=2$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow (x;y;z)=(1;1;0)$ và các hoán vi

Edited by royal1534, 19-06-2016 - 22:20.

[KietLW9]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $x+y+z=2.$ Chứng minh rằng: $$x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 1+\frac{1}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4}).$$

Ta có: $1=\frac{(x+y+z)^4}{16}=\frac{[x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)]^2}{16}\geqslant \frac{4(x^2+y^2+z^2).2(xy+yz+zx)}{16}=\frac{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}{2}$

$\Leftrightarrow 2\geqslant (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)=x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)+xyz(x+y+z)\geqslant x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)=x^3(2-x)+y^3(2-y)+z^3(2-z)\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\leq 1+\frac{1}{2}(x^4+y^4+z^4)$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có một số bằng 0 và 2 số bằng 1.

Edited by KietLW9, 17-05-2021 - 09:04.