Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Tìm MAX của biểu thức: $E=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

[cristianoronaldo]

Do vai trò của các biến a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta nhận thấy rằng:$\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leq b^2\\ c^2-ca+a^2\leq a^2\end{matrix}\right.$

Như vậy ta cần tìm max của:$a^2b^2(a^2-ab+b^2)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:;

$a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.(a^2-ab+b^2)\leq \frac{4}{9}.[\frac{\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}+(a^2-ab+b^2)}{3}]^3= \frac{4(a+b)^6}{3^5}\leq \frac{4(\sum a)^6}{3^5}=12$

Dấu ''='' xảy ra khi a=0,b=1,c=2  và các hoán vị

[Baoriven]

Một cách khá giống nhưng dùng đạo hàm.

Chứng minh phần đầu tương tự.

Suy ra $E\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)$

$\Rightarrow \frac{P}{3^6}\leq \frac{t-1}{(t+2)^3},t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Suy ra $P\leq 3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$

Xét hàm số $f(t)=3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$, Ta có:

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$

Suy ra $P\leq f(t)\leq f(\frac{5}{2})=12$

[demon311]

Đề thi HSG tỉnh mình năm ngoái