Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm MAX của biểu thức: $E=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$
Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm MAX của biểu thức: $E=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Do vai trò của các biến a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$
Ta nhận thấy rằng:$\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leq b^2\\ c^2-ca+a^2\leq a^2\end{matrix}\right.$
Như vậy ta cần tìm max của:$a^2b^2(a^2-ab+b^2)$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:;
$a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.(a^2-ab+b^2)\leq \frac{4}{9}.[\frac{\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}+(a^2-ab+b^2)}{3}]^3= \frac{4(a+b)^6}{3^5}\leq \frac{4(\sum a)^6}{3^5}=12$
Dấu ''='' xảy ra khi a=0,b=1,c=2 và các hoán vị
Nothing in your eyes
Một cách khá giống nhưng dùng đạo hàm.
Chứng minh phần đầu tương tự.
Suy ra $E\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{P}{3^6}\leq \frac{t-1}{(t+2)^3},t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Suy ra $P\leq 3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$
Xét hàm số $f(t)=3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$, Ta có:
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$
Suy ra $P\leq f(t)\leq f(\frac{5}{2})=12$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Đề thi HSG tỉnh mình năm ngoái
Ngoài ngoại hình ra thì ta chả có cái gì cả =))
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh