Chủ đề này có 1 trả lời

[trungvu1431]

Cho số nguyên n > 1 và số nguyên tố p sao cho p - 2 chia hết cho n và $n^{3}+n+2$ chia hết cho p . Chứng minh rằng 4p - 7 là một số chính phương

[Minhnguyenthe333]

Cho số nguyên n > 1 và số nguyên tố p sao cho p - 2 chia hết cho n và $n^{3}+n+2$ chia hết cho p . Chứng minh rằng 4p - 7 là một số chính phương

Ta có: $p\mid n^3+n+2<=>p\mid (n+1)(n^2-n+2)$

$TH1: n+1\mid p$

Do $n>1$ nên $n+1=p$

$=>n\mid p-2<=>\frac{p-2}{p-1}=1-\frac{1}{p-1}$ là số nguyên dương

$=>p=2$ kéo theo $4p-7=1$ là số chính phương

 

$TH2: p\mid n^2-n+2$

Suy ra $(\frac{p-2}{n})(\frac{n^2-n+2}{p})$ là số nguyên

 

$<=>(\frac{n^2}{p}-\frac{n}{p}+\frac{2}{p})(\frac{p}{n}-\frac{2}{n})$ $\in \mathbb{Z^+}$

 

$<=>n-1+\frac{2}{n}-\frac{2n}{p}+\frac{2}{p}-\frac{4}{pn}$ $\in \mathbb{Z^+}$

 

hay $\frac{2}{n}-\frac{2n}{p}+\frac{2}{p}-\frac{4}{pn}$ $\in \mathbb{Z^+}$

 

$<=>pn\mid 2(p+n-2-n^2)<=>pn \mid p+n-2-n^2$ (do $n$ là số lẻ)

$=>p+n-2-n^2\geqslant pn<=>n-n^2-2\geqslant p(n-1)$

Mặt khác do $n\mid p-2$ nên $p-2\geqslant n<=>p\geqslant n+2$

$=>n-n^2-2\geqslant p(n-1)\geqslant (n+2)(n-1)=n^2+n-2$

$<=>n^2\leqslant 0<=>n=0$ (vô lí) 

 

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-06-2016 - 10:59