3 replies to this topic

[Hannie]

Cho $x,y,z>0,x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

Edited by Hannie, 19-06-2016 - 10:24.

[cristianoronaldo]

Cho $x,y,z>0,x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Áo dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz}})=[\sum \sqrt{x+y}.\sqrt{\frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}}]^2\leq [\sum (x+y)][\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]=2[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]$

Cuối cùng ta chỉ việc chứng minh:

$4[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]\leq \sum x$

$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

Edited by cristianoronaldo, 20-06-2016 - 23:04.

[iloveyouproht]

Áo dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz}})=[\sum \sqrt{x+y}.\sqrt{\frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}}]^2\leq [\sum (x+y)][\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]=2[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]$

Cuối cùng ta chỉ việc chứng minh:

$4[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]\leq \sum x$

$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

ai giai thich ho m dong nay voi

[nilll gate]

Áo dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz}})=[\sum \sqrt{x+y}.\sqrt{\frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}}]^2\leq [\sum (x+y)][\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]=2[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]$

Cuối cùng ta chỉ việc chứng minh:

$4[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]\leq \sum x$

$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

???