2 replies to this topic

[hogwarts]

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}$$

[tungteng532000]

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}$$

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{z}{x},c=\frac{y}{z}$, ta có:
$P=\frac{x^5}{y^3(z^2+x^2)}+\frac{y^5}{z^3(x^2+y^2)}+\frac{z^5}{x^2(y^2+z^2)}=\sum \frac{x^6}{xy^3(z^2+x^2)}\geq$ $\frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xyz(y^2z+z^2x+x^2y)+(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)}$
$\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}+\frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

[tritanngo99]

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}$$

Áp dụng BDT $Holder$ ta có:

$P*(\sum a^2+3)*3\ge (\sum a)^3\implies P\ge \frac{(\sum a)^3}{3(\sum a^2+3)}(=Q)$.

Đặt $p=\sum a;q=\sum ab=>p\ge 3,q\ge 3$.

Ta đi Cm $Q\ge \frac{3}{2}(1)$.

Thật vậy: $(1)\iff 2p^3-9p^2+18q-27\ge 0\iff (2p+3)(p-3)^2+18(q-3)\ge 0(TRUE)$.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$