Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

[Nam Duong]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

$gt \rightarrow \sum \frac{a^2-4}{a^2-1}=0$

$bđt \leftrightarrow  \sum \frac{a-2}{a+1} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c > 1$

$\rightarrow \frac{a-1}{a+2} \ge \frac{b-1}{b+2} \ge \frac{c-1}{c+2}$

áp dụng $Chebyshev$ ta được $\sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-4}{a^2-1})(\sum \frac{a-1}{a+2})=0$

dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=2$

[tuanyeubeo2000]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

$ giả\quad thiết\quad <=>\frac { 1 }{ 3 } =\sum { \frac { 1 }{ (3a-3)(a+1) }  } \ge \sum { \frac { 4 }{ { (4a-2) }^{ 2 } } \ge \frac { (\sum { \frac { 1 }{ 2a-1 } ) }  }{ 3 }  } \\ ->1\ge \sum { \frac { 1 }{ 2a-1 }  } .\quad Ta\quad có\quad \frac { 1 }{ 2a-1 } +\frac { 1 }{ 3 } \ge \frac { 4 }{ 2a+2 } =\frac { 2 }{ a+1 } ->2\ge \sum { \frac { 2 }{ a+1 }  } \\ ->\sum { \frac { 1 }{ a+1 } \le 1 }  $