Chủ đề này có 2 trả lời

[huyqhx9]

cho a,b,c là cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng:

$a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyqhx9: 28-06-2016 - 21:17

[Nguyenhuyen_AG]

cho a,b,c là cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng:

$a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

 

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}.$ Chú ý rằng

\[a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c) = c(a+b)(a-b)^2+a(a+c)(a-c)(b-c),\]

và

\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c) =c^2(a-b)^2+ab(a-c)(b-c),\]

nên bất đẳng thức trên tương đương với

\[c(a+b-c)(a-b)^2+a(a+c-b)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo giả thiết của $c$ và bất đẳng thức trong tam giác.

 

[huyqhx9]

Anh cho em hỏi là từ đâu mà anh có ý tưởng giải bài trên ?,Đứng trước một bài bất đẳng thức tương đối khó như vậy thì điều đầu tiên anh nghĩ đến là gì? Anh Nguyen van Huyen