5 replies to this topic

[wolverine99]

$x^{2}+2=\sqrt{x(x^{2}-2x+2)}+\sqrt{x^{4}+4}$

[tritanngo99]

$x^{2}+2=\sqrt{x(x^{2}-2x+2)}+\sqrt{x^{4}+4}$

$Đk:x\ge 0$.

Xét $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.

Xét $x>0$.

Xét $f(x)=\sqrt{x^4+4}+\sqrt{x(x^2-2x+4)}-x^2+2\forall x\in (0;+\infty)$

Ta có: $f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+4}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$.

Mặt khác: $\sqrt{x^4+4}=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}\le^{CauChy} \frac{1}{2}(2x^2+4)=(x^2+2)$.

Và: $2\sqrt{x(x^2-2x+2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*2*\sqrt{2x(x^2-2x+2)}\le^{Cauchy}\frac{1}{\sqrt{2}}(x^2+2)$.

Nên $f'(x)\ge \frac{2x^3}{x^2+2}+\frac{3\sqrt{2}x^2-4\sqrt{2}x+4\sqrt{2}}{x^2+2}-2x=\frac{3\sqrt{2}x^2-(4\sqrt{2}+4)x+4\sqrt{2}}{x^2+2}>0$.

Vậy $f'(x)$ luôn đồng biến $\forall x\in (0;+\infty)\implies f(x)>f(0)=0\implies$ phương trình vô nghiệm với mọi $x>0$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : $x=0$

Edited by tritanngo99, 06-07-2016 - 07:48.

[wolverine99]

$Đk:x\ge 0$.

Xét $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.

Xét $x>0$.

Xét $f(x)=\sqrt{x^4+4}+\sqrt{x(x^2-2x+4)}-x^2+2\forall x\in (0;+\infty)$

Ta có:$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-2x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$

Mặt khác: $\sqrt{x^4+4}=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}\le^{CauChy} \frac{1}{2}(2x^2+4)=(x^2+2)$.

Và: $2\sqrt{x(x^2-2x+2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*2*\sqrt{2x(x^2-2x+2)}\le^{Cauchy}\frac{1}{\sqrt{2}}(x^2+2)$.

Nên $f'(x)\ge \frac{2x^3}{x^2+2}+\frac{3\sqrt{2}x^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x^2+2}-2x=\frac{3\sqrt{2}x^2-(2\sqrt{2}+4)x+2\sqrt{2}}{x^2+2}>0$.

Vậy $f'(x)$ luôn đồng biến $\forall x\in (0;+\infty)\implies f(x)>f(0)=0\implies$ phương trình vô nghiệm với mọi $x>0$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : $x=0$

hình như bạn tính nhầm đạo hàm

$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$

[tritanngo99]

Ờ, nhầm, bạn sửa lại rồi tính lại dùm nha, ý tưởng là vậy đó

[wolverine99]

Ờ, nhầm, bạn sửa lại rồi tính lại dùm nha, ý tưởng là vậy đó

nếu đạo hàm tính đúng, chắc ý tưởng đó không được rồi.

không chứng minh dc đạo hàm luôn dương

[tritanngo99]

hình như bạn tính nhầm đạo hàm

$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$

Đạo hàm ở đây là: $f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+4}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$ nhé.

Mà nói chung mình đã sửa lời giải đầu tiên lại rồi. Bạn có thể tham khảo.