Nguồn
Tìm tất cả đa thức hệ số hữu tỷ $P(n)$ thoả $P(n)\mid 2^{n} - 1$ với mọi số tự nhiên $n$.
Started By Ego, 29-06-2016 - 17:14
#1
Posted 29-06-2016 - 17:14
Ego
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 296 posts
Thượng sĩ
Tìm tất cả đa thức hệ số hữu tỷ $P(n)$ thoả $P(n)\mid 2^{n} - 1$ với mọi số tự nhiên $n$.
- thinhrost1 and baopbc like this
#2
Posted 29-06-2016 - 17:37
Ego
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 296 posts
Thượng sĩ
Các kết quả cơ bản dùng cho lời giải
i) $n = \pm 1$ là số nguyên duy nhất thoả mãn $\pm n\mid 2^{|n|} - 1$
ii) $P(n) \mid P(P(n) + n)$
Lưu ý là ta chỉ quan tâm các đa thức nhận giá trị nguyên với $n$ tự nhiên nên ii) vẫn đúng.
Theo đó, ta có $P(n) \mid P(P(n) + n) \mid 2^{P(n) + n} - 1$. Mặt khác, $P(n)\mid 2^{n} - 1$
Tóm lại ta thu được $P(n) \mid 2^{P(n)}$. Suy ra $P(n) = 1$ hoặc $P(n) = -1$ có vô hạn nghiệm, đến đây dễ suy ra rằng $P(x) = 1$ với mọi $x$ hay $P(x) = -1$ với mọi $x$
P.s: Thật ra có thể biện luận để suy ra hoặc $P(x) = \pm 1$ hoặc $P* = 0$ (TH sau có thể chứng minh vô lý). Và ngoài ra, đề bài chỉ cần đúng với vô hạn số tự nhiên $n$ hoặc đúng với hơn $2\deg{P(x)} + 2$. Chờ lời giải khác của các bạn
i) $n = \pm 1$ là số nguyên duy nhất thoả mãn $\pm n\mid 2^{|n|} - 1$
ii) $P(n) \mid P(P(n) + n)$
Lưu ý là ta chỉ quan tâm các đa thức nhận giá trị nguyên với $n$ tự nhiên nên ii) vẫn đúng.
Theo đó, ta có $P(n) \mid P(P(n) + n) \mid 2^{P(n) + n} - 1$. Mặt khác, $P(n)\mid 2^{n} - 1$
Tóm lại ta thu được $P(n) \mid 2^{P(n)}$. Suy ra $P(n) = 1$ hoặc $P(n) = -1$ có vô hạn nghiệm, đến đây dễ suy ra rằng $P(x) = 1$ với mọi $x$ hay $P(x) = -1$ với mọi $x$
P.s: Thật ra có thể biện luận để suy ra hoặc $P(x) = \pm 1$ hoặc $P* = 0$ (TH sau có thể chứng minh vô lý). Và ngoài ra, đề bài chỉ cần đúng với vô hạn số tự nhiên $n$ hoặc đúng với hơn $2\deg{P(x)} + 2$. Chờ lời giải khác của các bạn
Edited by Ego, 29-06-2016 - 17:48.
- thinhrost1, nhungvienkimcuong and baopbc like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
