Cho các số dương x,y,z,t biết $\frac{x}{1+x} +\frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z} +\frac{t}{1+t}$ $\leq 1$ . CMR $81xyzt\leq 1$
Cho các số dương x,y,z,t biết $\frac{x}{1+x} +\frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z} +\frac{t}{1+t}$ $\leq 1$ . CMR $81xyzt\leq 1$
#2
Đã gửi 30-06-2016 - 14:22
Ta có: $\frac{1}{1+x}\geq \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$
Do đó: $\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}\geq 81.\frac{xyzt}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}$
$\Leftrightarrow 81xyzt\leq 1$
Dấu = xảy ra <=> x = y = z = t = 1/3
- hoicmvsao yêu thích
"Life would be tragic if it weren't funny"
-Stephen Hawking-
#3
Đã gửi 30-06-2016 - 23:53
Bài này dùng kĩ thuật ghép đối xứng thôi bạn
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
$\frac{1}{1+x}\geq \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}\geq \sqrt[3]{\frac{yzt}{(y+1)(z+1)(t+1)}}$
Làm tt rồi nhân các vế lại với nhau, ta đc:
$\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}\geq \frac{xyzt}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}$
<=> $xyzt\leq \frac{1}{81}$
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z=t=$\frac{1}{3}$
quangtohe1234567890
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh