Chủ đề này có 2 trả lời

[hoakute]

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn   $\frac{a-c}{b}+\frac{b-c}{a}=\frac{a+b+c}{c}$

Tìm MIN của P=$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})$

[Baoriven]

Giả thiết cho tương đương với: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Ta có: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-[\frac{1}{c}(a+b)+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})]$

                                                                             $\leq (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-2\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$

                                                                             $=[\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1]^2$

Suy ra: $\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1\geq 2\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 7$

khi đó dùng BĐT C-S ta có:

$P\geq [\sqrt{(a^3+b^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3})}+1]^2$

    $=[\sqrt{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-3)+2}+1]^2\geq 361$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 02-07-2016 - 20:48

[lenadal]

Giả thiết cho tương đương với: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Ta có: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-[c(a+b)+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})]$

                                                                             $\leq (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-2\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$

                                                                             $=[\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1]^2$

Suy ra: $\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1\geq 2\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 7$

khi đó dùng BĐT C-S ta có:

$P\geq [\sqrt{(a^3+b^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3})}+1]^2$

    $=[\sqrt{\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3}+2}+1]^2$

Sử dụng tiếp BĐT quen thuộc $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3}\geq \frac{1}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3\geq \frac{343}{4}$

Bạn check lại hình như không tồn tại dấu '='