Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemathforeverlqd]

Chứng minh tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn:

$$n^{2}|(2^{n}+1)(3^{n}+1)$$

[yeutoan2001]

Giả sử n$\geq 3$ và lẻ sẽ tồn tại ước nguyên tố p lẻ nhỏ nhất 

       => gcd(n-1,p)=1

           Nên Có 2 TH: $3^{n}+1\vdots p$ Dùng cấp dễ dàng => 4$\vdots$p =>p=2(vô lí)

                          TH2: $2^{n}+1\vdots p => p=3$ (tiếp tục dùng cấp)

                                   THeo LTE có: 

                                            v₃($2^{n}+1$)+v₃($3^{n}+1$)$\geq 2$v₃(n) => v₃(n)$\leq$1

                     Vậy n=3k với (k,3)=1

                          =>  $8^{k}+1\vdots 9k^{2}$ Tương tự như trên dễ dàng => k chia hết cho 3 vô lí

 Với n chẵn Ta có: Đặt n=2h 

                       Có: $3^{n}+1\vdots 4$ Hay $9^{h}+1\vdots 4$ (điều này vô lí) 

                                   Vì $9^{h}+1\equiv 2(mod 4)$

Vậy dễ dàng tìm được n hình như là: 1,3