Chủ đề này có 2 trả lời

[cristianoronaldo]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$(1+\frac{2a}{b})^2+(1+\frac{2b}{c})^2+(1+\frac{2c}{a})^2\geq \frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 03-07-2016 - 22:17

[Thislife]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$(1+\frac{2a}{b})^2+(1+\frac{2b}{c})^2+(1+\frac{2c}{a})^2\geq \frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

Giả sử  $c=min(a,b,c)$.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$ 4(\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2}-3)+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3)) \geqslant \frac{9((\sum a)^2 -3\sum ab)}{\sum ab}$

$\Leftrightarrow 4(\frac{(a-b)^2(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(a-c)(b-c)(a+c)(b+c)}{a^2c^2})+4(\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}) \geqslant \frac{9((a-b)^2 +(a-c)(b-c))}{ab+bc+ac}$

 

$\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{4}{ab} -\frac{9}{ab+bc+ac})+(a-c)(b-c)(\frac{4(a+c)(b+c)}{a^2c^2}+\frac{4}{ac} -\frac{9}{ab+bc+ac}) \geqslant 0$

Mà  ta lại  có : $\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2} \geqslant \frac{16}{ab} >\frac{9}{ab+bc+ac}$

và $4(a+c)(b+c)(ab+bc+ac) > 4(ab+bc+ac)^2 \geqslant 4(2ac+bc)^2>9a^2c^2$ (do $c=min(a,b,c)$)

Cho nên ta có điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 04-07-2016 - 12:13

[cristianoronaldo]

Giả sử  $c=min(a,b,c)$.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$ 4(\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2}-3)+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3)) \geqslant \frac{9((\sum a)^2 -3\sum ab)}{\sum ab}$

$\Leftrightarrow 4(\frac{(a-b)^2(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{(a-c)(b-c)(a+c)(b+c)}{a^2c^2})+4(\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}) \geqslant \frac{9((a-b)^2 +(a-c)(b-c))}{ab+bc+ac}$

 

$\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2}+\frac{4}{ab} -\frac{9}{ab+bc+ac})+(a-c)(b-c)(\frac{4(a+c)(b+c)}{a^2c^2}+\frac{4}{ac} -\frac{9}{ab+bc+ac}) \geqslant 0$

Mà  ta lại  có : $\frac{4(a+b)^2}{a^2b^2} \geqslant \frac{16}{ab} >\frac{9}{ab+bc+ac}$

và $4(a+c)(b+c)(ab+bc+ac) > 4(ab+bc+ac)^2 \geqslant 4(2ac+bc)^2>9a^2c^2$ (do $c=min(a,b,c)$)

Cho nên ta có điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đây là một cách rất hay nhưng cần phải tính toán nhiều.

Cách làm của mình chỉ sử dụng kiến thức THCS thôi

Other solution:

P=$\sum \frac{\frac{a}{b}.(2a+b)^2}{ab}\geq \frac{[\sum \sqrt{\frac{a}{b}}.(2a+b)]^2}{\sum ab}$

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh:

$(2a+b)\sqrt{\frac{a}{b}}+(2b+c)\sqrt{\frac{b}{c}}+(2c+a)\sqrt{\frac{c}{a}}\geq 3(a+b+c)$(*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$(2a+b)\sqrt{\frac{a}{b}}=2(a+b)\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{ab}\geq 4.\sqrt{ab}.\sqrt{\frac{a}{b}}-\frac{a+b}{2}=4a-\frac{a+b}{2}$

Tương tự rồi cộng lại ta được bất đẳng thức (*) đúng

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 04-07-2016 - 17:26