Chủ đề này có 1 trả lời

[dangthithuy]

Cho ${x}, {y}\epsilon Z^{+}$. Đặt ${m}= \frac{x^{2}+y^{2}}{{xy}-1}$ . Biết ${m}\epsilon Z^{+}$ . Tìm ${m}$

[Minhnguyenthe333]

Cho ${x}, {y}\epsilon Z^{+}$. Đặt ${m}= \frac{x^{2}+y^{2}}{{xy}-1}$ . Biết ${m}\epsilon Z^{+}$ . Tìm ${m}$

Dễ thấy $m\geqslant 3$.Khi đó ta có$PT<=>x^2-myx+y^2+k=0$ $(1)$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ đạt min

 

Theo Viete thì $(1)$ còn nghiệm $t$ nguyên thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} t+x=my\\ tx=y^2+k\end{matrix}\right.$

Suy ra $t>0$ nên $t\geqslant x\geqslant y$ theo tính nhỏ nhất của $x+y$

$=>my=t+x\leqslant 2t$ hay $mxy\leqslant 2tx=2y^2+2k$

$<=>2y^2+2k\geqslant mxy\geqslant my^2$ $=>y^2\leqslant \frac{m}{m-2}\leqslant 3$ $(m\geqslant 3)$

 

Do đó $y=1$ kéo theo $x=2$ hoặc $x=3$ hay $m=5$