Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của:

$P=\frac{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}{ab+bc+ca}$

[anhminhnam]

Trong 3 số $a^2-1$ $b^2-1$ $c^2-1$ có ít nhất 2 số cùng dấu (Dirichlet)

Giả sử đó là $(a^2-1)(b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow a^2b^2+1\geq a^2 +b^2$

Mà $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)= (a^2b^2+2a^2+2b^2+4)(c^2+2)\geq 3(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$ (Cauchy-Swarz)

$\geq 9(ab+bc+ca)$ ($(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ )

Suy ra $P\geq 9$ tại $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 07-07-2016 - 16:40

[Baoriven]

Một lời giải khác.

Ta chứng minh: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$.

Sử dụng AM-GM ta có: 

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-9(ab+bc+ca)$

$=4(a^2+b^2+c^2)+2((a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1))+(a^2b^2c^2+1)+1-9(ab+bc+ca)$

$\geq 4(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)+2abc+1-9(ab+bc+ca)$

$\geq a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$

BĐT cuối cùng quen thuộc nên ta có đpcm.