Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2$

[royal1534]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2$

Sử dụng một bổ đề quen thuộc sau:  
 

Với $a,b,c$ dương ta có: $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

 

------------------------------
Thực hiện phép khai triển. BĐT đã cho tương đương với: 

$a^2+b^2+c^2+2abc+1+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6 \geq 0$

 

Áp dụng bổ đề trên. Ta có
 

$VT \geq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2(ab+bc+ca)-6(ab+bc+ca)+6=2(ab-1)^2+2(bc-1)^2+2(ca-1)^2 \geq 0$ 
 

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
 

[nguyenduy287]

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2$

Bài bất đẳng thức này là một hệ quả của bất đẳng thức mạnh hơn ở đây http://diendantoanho...ck3-k/?p=644288