Cho $a,b,c>0$ thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:
$\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )^{2}\geq 4(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$
$\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )^{2}\geq 4(\sum ab)\left ( \sum \frac{1}{a^{2}} \right )$
Started By NTA1907, 10-07-2016 - 16:26
#1
Posted 10-07-2016 - 16:26
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 posts
Thượng úy
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#2
Posted 11-07-2016 - 10:31
cristianoronaldo
-
- Thành viên
-
- 233 posts
Thượng sĩ
Cho $a,b,c>0$ thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:
$\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )^{2}\geq 4(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$
Do vai trò các biến là như nhau nên ta giả sử b=max{a,b,c}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$(\sum \frac{b+c}{a})^2=[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})]^2\geq 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})$
Cuối cùng ta cần chứng minh:
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})\geq (\sum ab)(\sum \frac{1}{a^2})$
$\Leftrightarrow (b-c)(b-a)\geq 0$
Edited by cristianoronaldo, 11-07-2016 - 10:32.
- Namthemaster1234, NTA1907, lehakhiem212 and 1 other like this
Nothing in your eyes
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
