Chủ đề này có 2 trả lời

[NTA1907]

Cho $a,b,c>0$ thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )^{2}\geq 4(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$

 

[cristianoronaldo]

Cho $a,b,c>0$ thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )^{2}\geq 4(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$

Do vai trò các biến là như nhau nên ta giả sử b=max{a,b,c}

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$(\sum \frac{b+c}{a})^2=[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})]^2\geq 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})$

Cuối cùng ta cần chứng minh:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c})(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a})\geq (\sum ab)(\sum \frac{1}{a^2})$

$\Leftrightarrow (b-c)(b-a)\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 11-07-2016 - 10:32

[yeutoan2001]

Dùng trê bư xếp cho nhanh