Chủ đề này có 5 trả lời

[happyfree]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho trong chúng không có hai số nào cùng bằng $0$.

Chứng minh rằng : $\frac{a^2(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

[cristianoronaldo]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\sum \frac{a^4}{\frac{a^2(b^2+bc+c^2)}{b+c}}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum \frac{a^2(b^2+bc+c^2)}{b+c}}$

Cưối cùng ta cần chứng minh:

$(\sum a^2)(\sum a)\geq 2[\sum \frac{a^2(b^2+bc+c^2)}{b+c}]$

$\Leftrightarrow \sum a^3+2abc(\sum \frac{a}{b+c})\geq \sum ab(a+b)$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo Nesbitt và Schur

[Namthemaster1234]

Thấy $b^2+bc+c^2 \geq \frac{3(b+c)^2}{4}$

 

$VT \geq \sum \frac{4a^2}{3(b+c)} \geq \frac{4(\sum a^2)^2}{3\sum ab(a+b)}$

 

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về :$ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq \frac{3}{2} \sum ab(a+b)$

 

hay $2 \sum a^3 \geq \sum ab(a+b)$ luôn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 11-07-2016 - 11:18

[cristianoronaldo]

Thấy $b^2+bc+c^2 \geq \frac{3(b+c)^2}{4}$

 

$VT \geq \sum \frac{4a^2}{3(b+c)} \geq \frac{4(\sum a^2)^2}{3\sum ab(a+b)}$

 

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về :$ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq \frac{3}{2} \sum ab(a+b)$

 

hay $2 \sum a^3 \geq \sum ab(a+b)$ luôn đúng

Hai dòng đầu bị ngược dấu rồi bạn

[Namthemaster1234]

Hai dòng đầu bị ngược dấu rồi bạn

 

Ừ mình thấy rồi,

[leanh9adst]

Dùng cách biến đổi cho dễ cách dùng nesbit vs schur dài hơn