Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{c+5}\leq \frac{1}{2}$

[KietLW9]

Bất đẳng thức sai với $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Mình nghĩ giả thiết phải là $a^3+b^3+c^3=3$

Cách giải theo đề của mình, bạn tham khảo: Áp dụng Cauchy rồi sử dụng Cauchy-Schwarz , ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+5}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}(\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+2}}) \leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{(a^3+b^3+c^3)(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2})}$ 

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leqslant 1\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2(a^2+b^2+c^2) \leqslant 8 + abc$  

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do ta dễ chứng minh được: $a^2+b^2+c^2\leqslant 3; a^2c+b^2a+c^2b\leqslant 2 + abc$  

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-04-2021 - 11:51