Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{c+5}\leq \frac{1}{2}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{c+5}\leq \frac{1}{2}$
Nothing in your eyes
Bất đẳng thức sai với $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
Mình nghĩ giả thiết phải là $a^3+b^3+c^3=3$
Cách giải theo đề của mình, bạn tham khảo: Áp dụng Cauchy rồi sử dụng Cauchy-Schwarz , ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+5}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}(\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+2}}) \leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{(a^3+b^3+c^3)(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2})}$
Ta cần chứng minh: $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leqslant 1\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2(a^2+b^2+c^2) \leqslant 8 + abc$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do ta dễ chứng minh được: $a^2+b^2+c^2\leqslant 3; a^2c+b^2a+c^2b\leqslant 2 + abc$
Vậy ta đã hoàn tất chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-04-2021 - 11:51
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh