Cho các số thực dương x,y và z. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{2z}{x+y+z}$
$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{2z}{x+y+z}$
Bắt đầu bởi nilll gate, 11-07-2016 - 17:05
#1
Đã gửi 11-07-2016 - 17:05
nilll gate
-
- Thành viên
-
- 57 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 11-07-2016 - 17:57
Namthemaster1234
-
- Thành viên
-
- 550 Bài viết
Thiếu úy
Cho các số thực dương x,y và z. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{2z}{x+y+z}$
Đặt $\frac{z}{x+y}=t$ thì $\frac{2z}{x+y+z}=\frac{2}{\frac{1}{t}+1}=\frac{2t}{1+t}$
Ta có: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z} \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}\geq \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+z(x+y)}=\frac{2(x+y)}{x+y+2z}=\frac{2}{1+2t}$
Giờ ta chỉ cần tìm $min$ của $f(t)=\frac{2t}{1+t} +\frac{2}{1+2t}=\frac{2(2t^2+2t+1)}{2t^2+3t+1}$
Dễ tìm được $f(t)_{min}$ là $4\sqrt{2}-4$. Đạt được khi $x=y$ và $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 11-07-2016 - 17:59
- nguyenhongsonk612, CaptainCuong, nguyenduy287 và 2 người khác yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#3
Đã gửi 13-07-2016 - 17:27
yeutoan2001
-
- Thành viên
-
- 231 Bài viết
Thượng sĩ
BÀi này chuẩn hóa được không nhỉ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
