Cho a, b, c là độ dài một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$
Chứng minh $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$
Bắt đầu bởi Baoriven, 12-07-2016 - 10:55
#1
Đã gửi 12-07-2016 - 10:55
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1424 Bài viết
Thượng úy
- nguyenhongsonk612 và thinhnarutop thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#2
Đã gửi 12-07-2016 - 13:12
the unknown
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
Cho a, b, c là độ dài một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 10$
Có thể giả sử $\widehat{A}\geq 90\Rightarrow b^2+c^2\leq a^2$. Ta đặt $b^2+c^2=x$ và $a^2=y$ thì $x\leq y$
Ta có: $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2+c^2})=(x+y)(\frac{4}{x}+\frac{1}{y})=5+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}=5+\frac{3y}{x}+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 10$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a^2=b^2+c^2$ và $b=c$ , tức là tam giác đó là tam giác vuông cân. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 12-07-2016 - 13:12
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
