$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$
#1
Posted 13-07-2016 - 16:24
$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$
- nhungvienkimcuong, Min Nq and the unknown like this
#2
Posted 13-07-2016 - 20:42
$(x;y;z;n)=(1;1;1;0)$
Nên thêm điều kiện là $x,y,z$ khác $1$ hay là $n$ khác 0 ha.
#3
Posted 21-07-2016 - 19:50
Định lý Legendre: Phương trình $n=u^2+v^2+w^2$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $n\neq 4^s(8l+7)$
Áp dụng vào bài toán:
Đặt $d=GCD(a,b,c)$ suy ra $\exists$ $x,y,z$ sao cho $a=dx,b=dy,c=dz$ với $GCD(x,y,z)=1$
Dễ thấy $3^{2^n}d^2=4^s(8l+7)<=>8l+7$ là số chính phương kéo theo $8l+7\equiv 1$ $(mod$ $8)$ (vô lí)
Suy ra $3^{2^n}d^2\neq 4^s(8l+7)$ nên theo định lý ta có: $a^2+b^2+c^2=3^{2^n}d^2$
$<=>d^2(x^2+y^2+z^2)=3^{2^n}d^2<=>x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$
Do $GCD(x,y,z)=1$ nên ta có đpcm
- the unknown likes this
#4
Posted 26-07-2016 - 14:44
Thử một ý tưởng khác
Quy nạp $n=1$ đúng
Giả sử đúng với $n$
Cần c/m tồn tại $x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}$
Định nghĩa là : $x_{n+1}=x_n^2+y_n^2-z_n^2,y_{n+1}=2y_nz_n,z_{n+1}=2x_ny_n$
Vấn đề đây là cần c/m $(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})=1$ với $(x_n,y_n,z_n)=1$
.....
#5
Posted 26-07-2016 - 15:32
Chứng minh rằng tồn tại bộ ba $(x,y,z)$ nguyên dương thoả mãn $GCD(x,y,z)=1$ sao cho
$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$
ta chứng mình mệnh đề sau bằng quy nạp:tồn tại bộ $(x,y,z)=1$ trong đó có $2$,$1$ số lẻ số chẵn thỏa $x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$
$\bullet$ với $n=1$ thì $(x,y,z)=(2,2,1)$ thỏa đề do
$2^2+2^2+1^2=3^{2^1}$
$\bullet$ giả sử mệnh đề đúng tới $n=k$ tức $\exists\ x_k,y_k,z_k:(x_k,y_k,z_k)=1$ trong đó có $2$ số chẵn và $1$ số lẻ mà
$x_k^2+y_k^2+z_k^2=3^{2^k}$
$\bullet$ ta chứng minh với $n=k+1$ thì bộ $(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})=\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$ thỏa
thật vậy dễ thấy $\left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |$ lẻ
ta sẽ chứng minh
$\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )=1$
gọi $p\mid \left ( x_k^2+y_k^2-z_k^2 ,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$
-với $p\not |\ z_k$
$\Rightarrow p| x_k,y_k\overset{p|x_k^2+y_k^2-z_k^2} {\Rightarrow}p|z_k$ $($ vô lí $)$
-với $p|z_k$
$\Rightarrow p|x_k^2+y_k^2\Rightarrow p|x^2_k+y_k^2+z_k^2\Rightarrow p=3\overset{p|x^2_k+y_k^2}{\Rightarrow}3|x_k,y_k$ $($ vô lí do theo cách chọn thì $(x_k,y_k,z_k)=1$ $)$
do đó ta có $\text{Q.E.D}$
Edited by nhungvienkimcuong, 26-07-2016 - 15:35.
- I Love MC, Minhnguyenthe333 and the unknown like this
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users