Chủ đề này có 1 trả lời

[t6tsahgt]

Tìm các số nguyên $x, y$ để: $xy(x+2)(y+2)$ là một số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi t6tsahgt: 13-07-2016 - 18:19

[Minhnguyenthe333]

Tìm các số nguyên $x, y$ để: $xy(x+2)(y+2)$ là một số chính phương.

Giả sử $u^2=xy(x+2)(y+2)$ và $a=x+1;b=y+1$
$=>u^2=(x^2+2x)(y^2+2y)=(a^2-1)(b^2-1)$
Dễ thấy $(x,y)=(0,k);(-2,k);(k,k)$ và các hoán vị
Xét $x\neq y:$
Đặt $d=GCD(a^2-1,b^2-1)$. Khi đó tồn tại hai số $m,n$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}a^2-1=dm^2 \\ b^2-1=dn^2\end{matrix}\right.$
Ta có $a^2-1=dm^2<=>a^2-dm^2=1$ $(***)$
Đây là phương trình Pell loại $1$ nên ngoài nghiệm $(a,m)=(\pm 1,0)$, ta còn có nghiệm tổng quát:
$a_k+m_k\sqrt{d}=(a_1+m_1\sqrt{d})^k$ với $k=1,2,3,..$ và $(a_1,m_1)$ là cặp nghiệm nhỏ nhất của $(***)$
Tương tự cho $b^2-dn^2=1$
Suy ra tồn tại vô số $x,y$ thoả mãn $xy(x+2)(y+2)$ là số chính phương