Chủ đề này có 5 trả lời

[thinhnarutop]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[Minhnguyenthe333]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:
$\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$VT=\sum \frac{ab}{b+1}\leqslant \sum \frac{ab}{4}(\frac{1}{b}+1)=\sum \frac{ab}{4}(1+ca)$
$=>VT\leqslant \sum \frac{ab}{4}+\sum \frac{a^2}{4}\leqslant \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[happyfree]

$VT=\sum \frac{ab}{b+1}\leqslant \sum \frac{ab}{4}(\frac{1}{b}+1)=\sum \frac{ab}{4}(1+ca)$
$=>VT\leqslant \sum \frac{ab}{4}+\sum \frac{a^2}{4}\leqslant \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

hình như $VT \leq \sum \frac{ab}{4}+\sum \frac{a}{4}$ mà bạn

[Ngockhanh99k48]

Đoạn trên ta có thể làm tiếp như sau: $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^3 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.(ab+bc+ca)^2 \geq (a+b+c)^2.abc(a+b+c)=(a+b+c)^3$ $\Rightarrow$ $a+b+c \leq a^2+b^2+c^2$.

[happyfree]

Đoạn trên ta có thể làm tiếp như sau: $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^3 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.(ab+bc+ca)^2 \geq (a+b+c)^2.abc(a+b+c)=(a+b+c)^3$ $\Rightarrow$ $a+b+c \leq a^2+b^2+c^2$.

đoạn sau có thể làm như sau nữa :

$ \left\{\begin{matrix} x \leq \frac{x^2+1}{2}&  & \\ y \leq \frac{y^2+1}{2}&  & \\ z \leq \frac{z^2+1}{2}&  & \end{matrix}\right.$

$x+y+z \leq \frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}$

Ta phải chứng minh: $ 3\leq x^2+y^2+z^2$ (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 15-07-2016 - 12:50

[happyfree]

$VT=\sum \frac{ab}{b+1}\leqslant \sum \frac{ab}{4}(\frac{1}{b}+1)=\sum \frac{ab}{4}(1+ca)$
$=>VT\leqslant \sum \frac{ab}{4}+\sum \frac{a^2}{4}\leqslant \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

đoạn đầu này ta cũng có thể sử dụng Cauchy-schwarz:

$4VT=\frac{4a}{ca+1}+\frac{4b}{ab+1}+\frac{4c}{bc+1} \leq \frac{(a+1)^2}{ca+1}+\frac{(b+1)^2}{ab+1}+\frac{(c+1)^2}{bc+1} \leq a^2+\frac{1}{ca}+b^2+\frac{1}{ab}+c^2+\frac{1}{bc}= a^2+b^2+c^2+a+b+c$

Đến đây ta chỉ cần chứng minh $a+b+c \leq a^2+b^2+c^2$(chứng minh đã có ở trên)