Chủ đề này có 4 trả lời

[NTA1907]

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(a+b)}+\frac{ab}{(c+a)(b+c)}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)}$

 

[alo]

Ta có :

$\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ca}{(b+c)(a+b)} + \frac{ab}{(c+a)(b+c)} = 1 - \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)};$

$\frac{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}{2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}\leq 3/4;$

Ta chỉ cần CM: $1/4 \geq \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2 +a^2c + ac^2 \geq 6abc;$

Áp dụng BĐT Cauchy (Tên đúng là BĐT AM-GM) cho 2 số 3 lần:

$a^2b+bc^2 \geq 2abc$ (1);

$b^2c+a^2c \geq 2abc$ (2);

$ac^2+ab^2 \geq 2abc$ (3);

Cộng các vế tương ứng của (1) (2) (3), ta được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alo: 15-07-2016 - 13:25

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(a+b)}+\frac{ab}{(c+a)(b+c)}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)}$

 

Ta có

\[\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)} - \frac{\displaystyle 2\sum a^2 + \sum bc}{\displaystyle 2\sum (a^2+bc)} = \frac{a^3(b-c)^2+b^3(c-a)^2+c^3(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)} \geqslant 0.\]

[Ngockhanh99k48]

Bạn alo sai rồi , bởi vì $2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) \geq 4(ab+bc+ca)$

[alo]

Bạn alo sai rồi , bởi vì $2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) \geq 4(ab+bc+ca)$

Cảm ơn, đã sửa