Chủ đề này có 3 trả lời

[Sonhai224]

chứng minh $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}<2$

[tranductucr1]

chứng minh $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}<2$

Dễ dàng chứng minh bdt đúng với $x=1$
 Với $x \geq 2$ Ta sẽ chứng minh bdt mạnh hơn là 
$\frac{1}{2}+..+\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} < 2-\frac{2}{\sqrt{x^3}}  (1) $
Với $x=1 ,x=2,x=3 $ (1) đều đúng 

Giả sứ $(1)$ đúng với $x=k$ ($k$ thuộc tập số tự nhiên )
$\frac{1}{2}+...+\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} < 2-\frac{2}{\sqrt{k^3}} (2) $
Ta sẽ chứng minh bdt đúng với $x=k+1$
Thật vậy
$\frac{1}{2}+...+\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}} < 2-\frac{2}{\sqrt{k^3}}+\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}<2-\frac{2}{\sqrt{(k+1)^3}}$
Vậy t chỉ cần chỉ ra được 
$\frac{2}{\sqrt{k^3}}-\frac{2}{\sqrt{(k+1)^3}} >\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}$
<=> $2\frac{\sqrt{(k+1)^3}-\sqrt{k^3}}{\sqrt{k^3(k+1)^3}} >\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}$
<=> $2(\sqrt{(1+\frac{1}{k})^3}-1)>\frac{k+1}{k+2}$(3) 
Đặt $a=\frac{1}{k}$ ($\frac{1}{2}<a<1$)
(3) <=> $2>\frac{a+1}{1+2a}*\frac{1}{\sqrt{(1+a)^3}-1}$
Đúng vì $\frac{1}{2}<a<1$
bài toán được chứng minh hoàn toàn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 17-07-2016 - 13:09

[Sonhai224]

Ta sẽ chứng minh bdt mạnh hơn là 
$\frac{1}{2}+..+\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} < 2-\frac{1}{\sqrt{x^3}}  (1) $
Với $x=1 ,x=2,x=3 $ (1) đều đúng 

Giả sứ $(1)$ đúng với $x=k$ ($k$ thuộc tập số tự nhiên )
$\frac{1}{2}+...+\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} < 2-\frac{1}{\sqrt{k^3}} (2) $
Ta sẽ chứng minh bdt đúng với $x=k+1$
Thật vậy
$\frac{1}{2}+...+\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}} < 2-\frac{1}{\sqrt{k^3}}+\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}<2-\frac{1}{\sqrt{(k+1)^3}}$
Vậy t chỉ cần chỉ ra được 
$\frac{1}{\sqrt{k^3}}-\frac{1}{(k+1)^3} >\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}$
điều này rất dễ Vì $\frac{1}{\sqrt{k^3}}>\frac{1}{(k+2)\sqrt{k+1}}$

cảm ơn bạn :V

[tranductucr1]

cảm ơn bạn :V

Chứng minh của t bị sai rồi bạn ạ !