Chủ đề này có 1 trả lời

[misakichan]

Cho đường thẳng a và 2 điểm M, N ở ngoài đường thẳng a sao cho MN//a . Lấy P $\notin$ a; MN và trên cùng một nửa mặt phẳng bờ a chứa MN. MP, NP lần lượt cắt a tại A, B. Tìm tập hợp điểm P sao cho diện tích PAB min 

[doremon01]

Kẻ $MC\perp a; PD \perp a$
Đặt $MC=h=const$
Đặt $MN=a=const$
Khi đó: $\frac{MC}{PD}=\frac{AM}{AP}=1-\frac{PM}{PA}=1-\frac{a}{AB}\Leftrightarrow \frac{h}{PD}=\frac{AB-a}{AB}\Leftrightarrow AB.h=AB.PD-a.PD\Leftrightarrow AB.h+a.PD=AB.PD\geq 2\sqrt{AB.PD.a.h}\Leftrightarrow 2S>2\sqrt{2S.ah}\Leftrightarrow S\geq 2ah $
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AB.h=PD.a\Leftrightarrow \frac{a}{AB}=\frac{h}{PD}=\frac{PM}{PA}=1-\frac{h}{PD}\Leftrightarrow 2\frac{h}{PD}=1\Leftrightarrow PD=2h$
Vậy quỹ tích của điểm D là đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng 2h

Mình nghĩ đề cho thiếu dữ kiện P nằm trên nửa mặt phẳng bờ MN không chứa đường thẳng a. Bởi nếu P nằm trong miền giữa đường thẳng MN và a thì khi P càng gần a thì $S_{PAB}$ càng nhỏ. Mà $P\notin a$ nên khi đó ta không thể tìm được GTNN của $S_{PAB}$

 

Hình gửi kèm

•