Chủ đề này có 1 trả lời

[NTA1907]

Cho các số thực x,y,z thoả mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=8$ và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$. Tìm GTNN:

$P=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

[Minhnguyenthe333]

Cho các số thực x,y,z thoả mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=8$ và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$. Tìm GTNN:
$P=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Đặt $a=x+y+z$ và $b=xy+yz+zx$
Từ giả thiết,ta có các hệ thức sau:
$\sum (x-y)^2=8<=>\sum x^2=b+4<=>a^2=3b+4$ $(1)$
$\sum x^3=1<=>a^3-3ab+3xyz=1<=>xyz=\frac{1+3ab-a^3}{3}=\frac{1+a(a^2-4)-a^3}{3}=\frac{1-4a}{3}$ $(2)$

Ta có: $P=(\sum x^2)^2-2(\sum x^2y^2)=(\sum x^2)^2-2[(\sum xy)^2-2xyz(x+y+z)]$

Thay vào $(1),(2)$ vào $P$, ta được: $P=\frac{-a^4-16a^2+12a+32}{9}$
Đặt $f(a)=-a^4-16a^2+12a+32$ với $a\in [\sqrt[3]{\frac{9-3\sqrt{777}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{9+3\sqrt{777}}{2}};+\infty)$
Xét đạo hàm tìm được điểm rơi là $a=\sqrt[3]{\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{2291}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{2291}{108}}}$
$=>P\geqslant ......$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-07-2016 - 17:02