Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{ab(5a^{2}+5b^{2}-2)}{5ab-1}\in\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $a=b$.
Chứng minh rằng $a=b.$
#1
Đã gửi 24-07-2016 - 18:01
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 24-07-2016 - 18:24
Xem tại đây: https://julielltv.wo...uoc-nhay-viete/Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{ab(5a^{2}+5b^{2}-2)}{5ab-1}\in\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $a=b$.
Cách của mình:
Do $(ab,5ab-1)=1$ nên $5ab-1\mid 5a^2+5b^2-2$
Đặt $k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}$ $<=>5a^2-5bka+5b^2+k-2=0$
Cố định tập nghiệm, giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ min
Theo Vieta, tồn tại thêm nghiệm nguyên $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=bk \\ 5ta=5b^2+k-2 \end{matrix}\right.$
Suy ra $t>0$ kéo theo $5bk\leqslant 10t<=>5abk\leqslant 10ta=10b^2+2k-4$
Chú ý rằng $a\geqslant b$ nên $10b^2+2k-4\geqslant 5b^2k$
$<=>(5b^2-2)k\leqslant 10b^2-4=2(5b^2-2)$ kéo theo $k\leqslant 2$
Mặt khác ta có $k\geqslant 2<=> 5(a-b)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)
Do đó $k=2$ hay $5(a-b)^2=0$ kéo theo $a=b$ (đpcm)
- Element hero Neos yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh