Chưa có bài trả lời

[ledacthuong2210]

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\geq abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}

Không mất tính tổng quát của bài toán, giả sử 

ab^2+bc^2+ca^2\ge a^2b+b^2c+c^2a

Vì thế 

\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\ge a^2b+b^2c+c^2a


Vậy để chứng minh bài toán, ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây

a^2b+b^2c+c^2a\ge abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 

a^2b+b^2c+c^2a\ge 3.abc

nên ta cần chứng minh được 

\frac{2}{3}.(a^2b+b^2c+c^2a)\ge\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}

Theo bất đẳng thức AM-GM thì 

\begin{aligned} VP = & \sqrt[3]{b\left( a^2+bc \right ).c \left ( b^2+ca \right ).a\left ( c^2+ab \right )}\\&\le \frac{\left b( a^2+bc \right )+c\left ( b^2+ca \right )+a\left ( c^2+ab \right )}{3}\\&\le \frac{2}{3}.(a^2b+b^2c+c^2a).\end{aligned}