Chủ đề này có 1 trả lời

[phamquangnhatanh]

Cho $\Delta ABC$ (AB < BC) có đường trung tuyến AE và CF cắt nhau tại G. Gọi M, H và K lần lượt là trung điểm của AC, GA và GC. Chứng minh:

a) Ba điểm B, G, M thẳng hàng

b) HK = EF và HK // EF

c) AE < CF

[Hai2003]

Bài này lớp 7 hay lớp 8 vậy bạn? Hình như lớp 7 (vì nếu là lớp 8 thì dễ quá) nhưng mình có dùng đường trung bình, mình sẽ chứng minh sau.

a) Cái này dùng 3 đường trung tuyến đồng quy trong tam giác là ra. (nếu cần chứng minh 3 đường trung tuyến đồng quy thì nói, mình sẽ chứng minh nhưng phải dùng tam giác đồng dạng)

b) H là trung điểm AG, K là trung điểm CG $\implies$ HK là đường trung bình của tam giác AGC $\implies HK=\frac{1}{2}AC,\ HK//AC$

Tương tự, EF là đường trung bình của tam giác ABC $\implies EF=\frac{1}{2}AC,\ EF//AC$

Vậy $HK=EF$ và $HK//EF$

c) Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu tam giác ABC có M là trung điểm BC thì $AB<AC \Leftrightarrow\ \widehat{AMB}<\widehat{AMC}$

Sử dụng bổ đề cho tam giác ABC với AB < BC ta có $\widehat{BMA}<\widehat{BMC} \Leftrightarrow AG<GC$

Mà $AG=\frac{2}{3}AE,\ GC=\frac{2}{3}CF$ nên $AE<CF$

 

Đường trung bình

Tam giác ABC có D và E lần lượt là trung điểm AB và AC. Ta sẽ chứng minh $DE=\frac{1}{2}BC$ và DE // BC.

Trên tia đối tia ED lấy F sao cho DE = EF. $\bigtriangleup ADE=\bigtriangleup CFE \ (c.g.c)\implies AD=CF=BD,\ \widehat{ADE} = \widehat{CFE} \implies BD//CF$

Như vậy $\bigtriangleup BDF= \bigtriangleup FCB \ (c.g.c)\implies DF=BC,\ \widehat{BFD}=\widehat{FBC}$

Suy ra điều phải chứng minh

 

Chứng minh bổ đề

Chiều thuận: Trên tia đối MA lấy E sao cho MA = ME. Ta chứng minh được $\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup ECM\ (c.g.c)\implies \widehat{BAM}=\widehat{CEA},\ AB=CE\implies CE<AC$

Như vậy thì $\widehat{CAM}<\widehat{CEA}\ \text{(quan hệ góc cạnh đối diện)}\implies \widehat{CAM}<\widehat{BAM}$

Mặt khác $\widehat{ACM}<\widehat{ABM}\implies \widehat{AMB}<\widehat{AMC}$

 

Chiều đảo: với $\widehat{AMB}<\widehat{AMC}$, chứng minh AB < AC.

Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử AB > AC, chứng minh giống như trên ta được $\widehat{AMB}>\widehat{AMC}$ (mâu thuẫn) nên suy ra đpcm.