Chủ đề này có 3 trả lời

[HarryGS7]

$I=\int_{0}^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}dy\int_{1+\sqrt{2y-y^{2}}}^{2-y}f\left ( x,y \right )dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HarryGS7: 02-08-2016 - 10:38

[chanhquocnghiem]

$I=\int_{0}^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}dy\int_{1+\sqrt{2y-y^{2}}}^{2-y}f\left ( x,y \right )dx$

$x=1+\sqrt{2y-y^2}\Rightarrow y^2-2y+x^2-2x+1=0$

$\Rightarrow y=1-\sqrt{2x-x^2}$ (chọn dấu trừ trước căn thức vì $y< 1$)

$x=2-y\Rightarrow y=2-x$

$\left\{\begin{matrix}y=1-\sqrt{2x-x^2}\\y=2-x \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$

Vậy miền lấy tích phân có thể chia thành 2 miền :

$D_1:0\leqslant x\leqslant 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $0\leqslant y\leqslant 1-\sqrt{2x-x^2}$

$D_2:1+\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant x\leqslant 2$ ; $0\leqslant y\leqslant 2-x$

Do đó có thể lấy tích phân theo $y$ trước như sau :

$I=\int_{0}^{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}dx\int_{0}^{1-\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy+\int_{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}^{2}dx\int_{0}^{2-x}f(x,y)dy$

[HuyPhuoc]

$x=1+\sqrt{2y-y^2}\Rightarrow y^2-2y+x^2-2x+1=0$
$\Rightarrow y=1-\sqrt{2x-x^2}$ (chọn dấu trừ trước căn thức vì $y< 1$)
$x=2-y\Rightarrow y=2-x$
$\left\{\begin{matrix}y=1-\sqrt{2x-x^2}\\y=2-x \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$
Vậy miền lấy tích phân có thể chia thành 2 miền :
$D_1:0\leqslant x\leqslant 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $0\leqslant y\leqslant 1-\sqrt{2x-x^2}$
$D_2:1+\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant x\leqslant 2$ ; $0\leqslant y\leqslant 2-x$
Do đó có thể lấy tích phân theo $y$ trước như sau :
$I=\int_{0}^{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}dx\int_{0}^{1-\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy+\int_{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}^{2}dx\int_{0}^{2-x}f(x,y)dy$

dạ cho em hỏi là bước suy ra miền D1, D2 sao mình suy được các khoảng x,y như vậy ạ. Em cám ơn ạ

[Konstante]

Bạn có thể vẽ hình để biết tại sao lại có việc tách này: miền lấy tích phân là miền giới hạn bởi hai đường như trong hình dưới đây  ($x$ là trục tung, $y$ là trục hoành). Hai đường này cắt nhau đúng ở điểm $x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Từ đây có thể nhận ra rằng miền đó có thể chia được theo cách:

1. $x \in ]1 + \frac{\sqrt{2}}{2},2[$ và $y \in ]0, 2-x[$ (tam giác giới hạn bởi đường màu xanh),
2. $x \in ]1,1 + \frac{\sqrt{2}}{2}[$ và $y \in ]0,1-\sqrt{2x-x^2}[$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 28-12-2023 - 23:15