Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Cho a,b,c dương thoả mãn 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$

Chứng minh

$\sum\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leq\frac{8}{9}$

 

Hint

Dùng bổ đề $(a+b)(b+c)(c+a)\geq\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 03-08-2016 - 22:39

[royal1534]

Cho a,b,c dương thoả mãn 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$

Chứng minh

$\sum\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leq\frac{8}{9}$

 

Hint

Dùng bổ đề $(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 

$(a+b+\frac{\sqrt{2(a+c)}}{2}+\frac{\sqrt{2(a+c)}}{2})^3 \geq \frac{27}{2(a+b)(a+c)}$

Suy ra $VT \leq \sum \frac{2}{27(a+b)(a+c)}$

Và ta quy bài toán về chứng minh $\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)} \leq 12 $

$\Leftrightarrow (a+b+c) \leq 6(a+b)(b+c)(c+a)$

Giả thiết tương đương với $16(a+b+c)abc \geq ab+bc+ca$

Mà theo bđt AM-GM thì ta có: $(ab+bc+ca)^2 \geq 3(a+b+c)abc \geq \frac{3}{16}(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca \geq \frac{3}{16}$

Áp dụng bổ đề quen thuộc trên (Chứng minh khá dễ). Ta có

$6(a+b)(b+c)(c+a) \geq 6.\frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 6.\frac{8}{9}.\frac{3}{16}(a+b+c)=a+b+c $

Ta có Q.E.D. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 03-08-2016 - 22:56