Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2}\leq 1$
$\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2}\leq 1$
#1
Đã gửi 03-08-2016 - 22:55
- nguyenhongsonk612 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
#2
Đã gửi 03-08-2016 - 23:52
Giả thiết $abc=1$ nên tồn tại $x, y, z >0$ thỏa $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$. Từ đó, sử dụng Cauchy-schwarz ta có $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}=\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{y(2x+y)+z(2y+z)+x(2z+x)}=1$.
- Shin Janny, O0NgocDuy0O và loolo thích
#3
Đã gửi 03-08-2016 - 23:53
Ta phải cm : $\sum \frac{a}{a^{2}+2} \leq \sum \frac{a}{2a+1}\leq 2 <=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1$
Áp dụng BĐT caychy ta có : $\sum \frac{1}{2a+1} + \sum \frac{2a+1}{9} \geq 2$
$<=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1(đpcm)$
p/s : Muộn r :'(
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 03-08-2016 - 23:53
- nilll gate, nguyengoldz và 1stpdt thích
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
#4
Đã gửi 25-04-2021 - 15:46
Áp dụng Cô-si, ta có $P\leqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$
Ta có: $1- (\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1})=\frac{a+b+c+1-4abc}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}\geqslant 0\Rightarrow 1\geqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$ (Do $a+b+c+1-4abc=a+b+c-3\geqslant 3\sqrt[3]{abc}-3=0$)
Vậy $P\leqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh