Chủ đề này có 3 trả lời

[Totoro]

1.Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn (O;R) và hai điểm A,B chạy trên đường tròn đó sao cho góc APB luôn vuông. Gọi M là trung điểm dây AB và H là hình chiếu của P xuống AB. Chứng minh rằng M,H luôn cùng thuộc một đường tròn cố định

2.Cho Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Chứng Minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm BC

 

[Totoro]

1.Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn (O;R) và hai điểm A,B chạy trên đường tròn đó sao cho góc APB luôn vuông. Gọi M là trung điểm dây AB và H là hình chiếu của P xuống AB. Chứng minh rằng M,H luôn cùng thuộc một đường tròn cố định

2.Cho Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Chứng Minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm BC

 

[vkhoa]

1.Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn (O;R) và hai điểm A,B chạy trên đường tròn đó sao cho góc APB luôn vuông. Gọi M là trung điểm dây AB và H là hình chiếu của P xuống AB. Chứng minh rằng M,H luôn cùng thuộc một đường tròn cố định

2.Cho Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Chứng Minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm BC

1)

PA cắt (O) tại C, PB cắt (O) tại D

Gọi N, E là trung điểm CD, AD
hạ PK vuông góc CD tại K
hạ OF, OG vuông góc AC, BD tại F, G
MN cắt OP tại I
ta có $\widehat{MPB} =\widehat{MBP} =\widehat{PCK} =\widehat{KPD}$
$\Rightarrow M, P, K $thẳng hàng
tương tự $N, P, H $thẳng hàng
có $PM //ON, PN //OM \Rightarrow MONP$ là hình bình hành
$\Rightarrow I $là trung điểm MN, OP
$\Rightarrow I $là điểm cố định
có $IM =\frac{MN}2$ (1)
có $MN^2 =EM^2 +EN^2 =\frac14(AC^2 +BD^2)$ (2)
có $|PA -PC| =|AC -2PC| =2|FC -PC| =FP$
tương tự $|PB -PD| =GP$
có $OP^2 =FP^2 +GP^2 =(PA -PC)^2 +(PB -PD)^2$
$=(PA +PC)^2 +(PB +PD)^2 -4 .PA .PC -4 .PB .PD$
$=AC^2 +BD^2 -8 .(R^2 -OP^2)$
$\Leftrightarrow AC^2 +BD^2 =8 .R^2 -7 .OP^2$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow IM =\frac14\sqrt{8 .R^2 -7 .OP^2}$ không đổi
$\Rightarrow M$ luôn thuộc đường tròn đường kính MN cố định (4)
có $\widehat{MHN} =90^\circ\Rightarrow H $thuộc đường tròn đường kính MN (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow $đpcm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 07-08-2016 - 05:49

[vkhoa]

1.Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn (O;R) và hai điểm A,B chạy trên đường tròn đó sao cho góc APB luôn vuông. Gọi M là trung điểm dây AB và H là hình chiếu của P xuống AB. Chứng minh rằng M,H luôn cùng thuộc một đường tròn cố định

2.Cho Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Chứng Minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm BC

2)

Gọi D, G, H lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, AB, AC
gọi E, K, L là tiếp điểm của (J) với BC, AB, AC
gọi F là trung điểm BC (1)
ta có $AB +AC +BC =AG +BG +AH +CH +BD +CD$
mà $AG =AH, BG =BD, CH =CD$
$\Rightarrow AB +AC +BC =2(BD +AH +CH) =2(BD +AC)$
$\Rightarrow BD =\frac12(AB +BC -AC)$ (2)
có $AB +AC +BC =AB +AC +BE +CE =AB +BK +AC +CL =AK +AL$
$=2AL =2(AC +CE)$
$\Rightarrow CE =\frac12(AB +BC -AC)$ (3)
từ (2, 3)$\Rightarrow BD =CE$
$\Leftrightarrow |BD -BF| =|CE -CF|$
$\Leftrightarrow FD =FE$ (4)
có FD tiếp xúc (I) tại D
$\Rightarrow$ phương tích $P_{F,(I)} =FD^2$ (5)
tương tự $P_{F,(J)} =FE^2$ (6)
từ (4, 5, 6)$\Rightarrow $trục đẳng phương của (I) và (J)đi qua trung điểm F (đpcm)

Hình gửi kèm

•