Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Ta có:
$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$
Tương tự cộng vế theo vế:
$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$
Ta lại có:
$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$
Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$
Ta có:
$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$
Tương tự cộng vế theo vế:
$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$
Ta lại có:
$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$
Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$
Đoạn này không ổn vì chưa rõ dấu của b^2+c^2-2a^2
Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Ta có
\[\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2} - 3 = \frac{\displaystyle \sum \left [abc^2+a(3a+4b)(a-c)^2+(a^2+2b^2+2ca)(a+b-c)^2 \right ](a-b)^2}{3(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)} \geqslant 0.\]
Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Ta sẽ phân tích SOS
BĐT $<=> \sum \frac{2a^2-b^2-c^2}{b^2-bc+c^2} \geq 0 $
$<=> \sum (a-b)^2.(a+b). \frac{a+b-c}{(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)} \geq 0 $
Giả sử $a \geq b \geq c $
Khi đó, đặt luôn
$S_c = (a+b). \frac{a+b-c}{(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)} $
$S_b = (a+c) \frac{a+c-b}{(a^2-ab+b^2)(c^2-bc+b^2) } $
$S_a = (b+c) \frac{b+c-a}{(b^2-ab+a^2)(c^2-ac+a^2)} $
Ta có $S_c, S_b \geq 0 $
Ta chứng minh $S_b + S_a \geq 0 $
Thật vậy, ta có $S_b + S_a= \frac{2c^4+(a^3+b^3)c + (a-b)^2(a^2+ab+b^2) }{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2 ) } \geq 0 $
Ta cần chứng minh
$S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \geq 0 $
$S_b ( c-a)^2 = S_b( a-b + b-c)^2 \geq S_b(a-b)^2 + S_b(b-c)^2 $
Do đó, ta cần chứng minh $(S_b+S_c)(a-b)^2 + (b-c)^2( S_b+ S_a) \geq 0 $ đúng
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 06-08-2016 - 12:01
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh