Chủ đề này có 5 trả lời

[ZOT Murloc]

Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng

$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$

[haichau0401]

Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng

$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$

Ta có:

$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Ta lại có:

$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$

Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$

[ZOT Murloc]

Ta có:

$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Ta lại có:

$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$

Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$

Đoạn này không ổn vì chưa rõ dấu của b^2+c^2-2a^2

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng

$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$

Ta có

\[\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2} - 3 = \frac{\displaystyle \sum \left [abc^2+a(3a+4b)(a-c)^2+(a^2+2b^2+2ca)(a+b-c)^2 \right ](a-b)^2}{3(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)} \geqslant 0.\]

[superpower]

Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng

$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$

Ta sẽ phân tích SOS

BĐT $<=> \sum \frac{2a^2-b^2-c^2}{b^2-bc+c^2} \geq 0 $

        $<=> \sum (a-b)^2.(a+b). \frac{a+b-c}{(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)}  \geq 0 $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Khi đó, đặt luôn

$S_c = (a+b). \frac{a+b-c}{(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)} $

$S_b = (a+c) \frac{a+c-b}{(a^2-ab+b^2)(c^2-bc+b^2) } $

$S_a = (b+c) \frac{b+c-a}{(b^2-ab+a^2)(c^2-ac+a^2)} $

Ta có $S_c, S_b \geq 0 $

Ta chứng minh $S_b + S_a \geq 0 $

Thật vậy, ta có $S_b + S_a= \frac{2c^4+(a^3+b^3)c + (a-b)^2(a^2+ab+b^2) }{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2 ) } \geq 0 $

Ta cần chứng minh

$S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \geq 0 $

$S_b ( c-a)^2 = S_b( a-b  + b-c)^2 \geq S_b(a-b)^2 + S_b(b-c)^2 $

Do đó, ta cần chứng minh $(S_b+S_c)(a-b)^2 + (b-c)^2( S_b+ S_a) \geq 0 $ đúng

[Ngockhanh99k48]

Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng

$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum_{cyc} (\frac{2a^2-bc}{b^2-bc-c^2}+1) \geq 6$ $\Leftrightarrow$ $\sum_{cyc} \frac{2a^2+(b-c)^2}{b^2-bc+c^2} \geq 6$.
Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$(\sum_{cyc}\frac{2a^2+(b-c)^2}{b^2-bc-c^2})(\sum_{cyc} [2a^2+(b-c)^2](b^2-bc+c^2)) \geq 4(2 \sum_{cyc} a^2 -\sum_{cyc} ab)^2$.
Do đó ta cần chứng minh:
$2(2 \sum_{cyc} a^2- \sum_{cyc} ab)^2 \geq 3 \sum_{cyc} [2a^2+(b-c)^2][b^2-bc+c^2]$ $\Leftrightarrow$ $2 \sum_{cyc}a^4+2abc\sum_{cyc}a + \sum_{cyc} ab(a^2+b^2) \geq 6 \sum_{cyc} a^2b^2$.
Sử dụng BĐT Schur bậc 4 và AM-GM ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b, c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 06-08-2016 - 12:01