Em có một bài như sau:
Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b+c^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{c+a^{2}}}\leq \frac{3}{2}$
Và em đã giải bài toán này như sau:
Đặt P là biểu thức cần chứng minh
Ta có:
$P=\sum \frac{a}{\sqrt{a+b^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a+b^{2}}}=\frac{2}{3}\sum \sqrt{\frac{a}{a+b^{2}}.\frac{9}{4}a}\leq \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\sum (\frac{a}{a+b^{2}}+\frac{9}{4}a)$(Theo AM-GM)
Thay a+b+c=1 vào P ta có:
$P\leq \frac{1}{3}(\sum \frac{a}{a+b^{2}}+\frac{9}{4})=\frac{1}{3}(3-\sum \frac{b^{2}}{a+b^{2}}+\frac{9}{4})\leq \frac{3}{2}$
Khi đó,ta cần chứng minh:
$\sum \frac{b^{2}}{a+b^{2}}\geq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum \frac{b^{4}}{ab^{2}+b^{4}}\geq \frac{3}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta cần chứng minh:
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum a^{4}+8\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum ab^{2}$
$\Leftrightarrow \sum a^{4}+8\sum a^{2}b^{2}\geq 3(\sum a)(\sum ab^{2}) \Leftrightarrow (\sum a^{2})^{2}+3\sum a^{2}b^{2}\geq 3abc+3(a^{3}c+ab^{3}+bc^{3})$
Ta có:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ với mọi a,b,c là các số không âm
Áp dụng với a=ab,b=bc,c=ca ta có:$3\sum a^{2}b^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3abc$
Do đó,ta chỉ cần chứng minh:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}c+ab^{3}+bc^{3})$
Nhưng tới đây thì em không biết phải đánh giá ra sao để ra được kết quả.Mong anh,chị và các bạn giúp đỡ em với.Nếu ai có cách làm nhanh hơn thì có thể đăng lên hộ em được không ạ???Em chân thành cảm ơn 
