Chủ đề này có 3 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn:

(a) $2^{n}-1 \vdots 3$

(b) $\exists m\in \mathbb{N}$ để $4m^{2}+1 \vdots \frac{2^{n}-1}{3}$

Chứng minh rằng: $n$ là lũy thừa của 2

[Zz Isaac Newton Zz]

Ai giúp mình làm bài này với, mình đang cần gấp...

[bangbang1412]

Từ giả thiết suy ra $n$ chẵn , đặt $n=2^{k}.u$ với $u$ là một số lẻ thế thì $2^{u}-1|2^{n}-1$ , do $u$ lẻ nên $2^{u}-1$ không chia hết cho $3$ . Nếu $u \geq 3$  thì $2^{u}-1\equiv -1(mod4)$ nên $2^{u}-1$ có một ước nguyên tố dạng $4t+3>3$ nhưng mà $(\frac{-1}{4t+3})=-1$ vô lý nên $u=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-08-2016 - 13:57

[vutuanhien]

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn:

(a) $2^{n}-1 \vdots 3$

(b) $\exists m\in \mathbb{N}$ để $4m^{2}+1 \vdots \frac{2^{n}-1}{3}$

Chứng minh rằng: $n$ là lũy thừa của 2

Nếu chỉ cần chứng minh $n$ là lũy thừa của $2$ thì rất đơn giản. Ta có $2^{k}-1\vdots 3\Leftrightarrow n\vdots 2$. Nếu $n$ có $1$ ước $q$ lẻ $>2$, thì $2^q-1|2^n-1$ và do đó $\dfrac{2^n-1}{3}$ có $1$ ước nguyên tố dạng $4k+3$ khác $3$ (vì $4m^2+1$ không chia hết cho $3$, nên $v_{3}(2^n-1)=1$). Từ đó áp dụng bổ đề $4k+3$ thì ta có ước nguyên tố đó chia hết $1$, vô lý.

Tổng quát hơn, ta có thể chứng minh được rằng $\exists m\in \mathbb{N}$ để $4m^2+1\vdots \dfrac{2^n-1}{3}\Leftrightarrow n$ là lũy thừa của $2$