Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho số nguyên tố $p$. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho: $a^{p}+b^{p}=p^{c}$.

 

Mọi người làm giùm mình bằng bổ đề LTE nha...

[vutuanhien]

Cho số nguyên tố $p$. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho: $a^{p}+b^{p}=p^{c}$.

 

Mọi người làm giùm mình bằng bổ đề LTE nha...

Đặt $d=gcd(a,b)$, $a=dx, b=dy$ thì ta có $d^p(x^p+y^p)=p^c$ nên $d$ là một lũy thừa của $p$. Tóm lại ta có thể đưa phương trình về dạng:

$x^p+y^p=p^k$,

với $(x,p)=(y,p)=1$. Không mất tổng quát giả sử $x\geq y$

Giờ ta xét 2 trường hợp.

Trường hợp $1$: $p=2$

Khi đó $x^2+y^2=2^k$ mà $x, y$ lẻ nên $x^2+y^2 \equiv 2$ $(mod 4)$. Vậy $k=1$, tức là $x=y=1$, nên $a=b=2^m$, $c=2m+1$

Trường hợp $2$: $p\geq 3$

Từ định lý Fermat nhỏ, ta suy ra ngay $p| x+y$. Áp dụng bổ đề LTE, ta có:

$v_{p}(x^p+y^p)=v_{p}(x+y)+v_{p}(p)=v_{p}(x+y)+1$ $(*)$

Mặt khác, ta có $x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$ nên từ $(*)$ ta suy ra ngay:

$x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}=p$

$\Rightarrow x^{p-2}(x-y)+...+xy^{p-3}(x-y)+y^{p-1}=p$

Nếu $(x,y)=(1,1)$ thì $p=2$ vô lý. Nếu $(x,y)\neq (1,1)$ thì ta dễ dàng chứng minh được $x^{p-2}(x-y)+...+x.y^{p-3}(x-y)+y^{p-1}> p$, với $p\geq 5$ (chú ý rằng $2^{n-2}>n$, $\forall n\geq 5$)

Do đó $p=3$ và ta có $x^2-xy+y^2=3$, suy ra $(2x-y)^2+3y^2=12$ nên $x=2, y=1$. 

Khi đó $a=2.3^m, b=3^m, c=3m+2, p=3$

Từ $2$ trường hợp trên ta suy ra đáp số của đề bài là $a=b=2^m$, $c=2m+1, p=2$ hoặc  $a=2.3^m, b=3^m, c=3m+2, p=3$

Bài toán tổng quát: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $a^{n}+b^{n}=p^{k}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 06-08-2016 - 22:00