4 replies to this topic

[Cantho2015]

1. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+ \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

[la oi dung bay]

 

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})\frac{(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)}{(\sum a^{2})(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ ($$$)

Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum ab)-abc$

Do đó $(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)+abc=\frac{1}{2}(\sum a)(\sum (a-b)^{2})+abc> 0$

Vì vậy ($$$) đúng nên ta đã hoàn thành việc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c

[Cantho2015]

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

 

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.

[la oi dung bay]

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.Cái này ba j 

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$

[Cantho2015]

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$

Cảm ơn bạn nhiều, mà đúng là nếu không có kiến thức về đa thức đối xứng với quỹ đạo của đa thức thì biến đổi hơi bị căng. 

Mà mình thắc mắc là làm sao bạn chọn được $\frac{a+b+c}{2}$ để trừ vào hai vế ra đẹp thế! Có phương pháp nào để chọn không?