2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:
$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
BĐT tương đương với:
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$
$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})\frac{(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)}{(\sum a^{2})(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ ($$$)
Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum ab)-abc$
Do đó $(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)+abc=\frac{1}{2}(\sum a)(\sum (a-b)^{2})+abc> 0$
Vì vậy ($$$) đúng nên ta đã hoàn thành việc chứng minh.
Dấu bằng xảy ra tại a=b=c